Question

8．已知復(fù)數(shù)z=（2a+i）（1-bi）的實(shí)部為2，其中a，b為正實(shí)數(shù)，則4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z=（2a+i）（1-bi）=2a+b+（1-2ab）i的實(shí)部為2，其中a，b為正實(shí)數(shù)，可得2a+b=2，b=2-2a．代入4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：復(fù)數(shù)z=（2a+i）（1-bi）=2a+b+（1-2ab）i的實(shí)部為2，其中a，b為正實(shí)數(shù)，
∴2a+b=2，∴b=2-2a．
則4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b=4^a+2^1-2a=${4}^{a}+\frac{2}{{4}^{a}}$≥2$\sqrt{{4}^{a}•\frac{2}{{4}^{a}}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$時取等號．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．