Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x-7，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
①f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(

2

3

，2)；
②f（x）的極小值是-15；
③當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函數(shù)f（x）滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0
其中假命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．列表討論，知①錯(cuò)誤，②正確；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正確；由f（x）=x³-2x²-4x-7，知函數(shù)f（x）不滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，故④不正確．

解答：解：∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．
列表討論

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↓		↓	極小值	↑

∴減區(qū)間為（-∞，2]，增區(qū)間為[2，+∞），
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①錯(cuò)誤，②正確；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正確；
∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴函數(shù)f（x）不滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，
故④不正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，考查不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．