Question

5．如圖，AB是⊙O的一條弦，延長AB到點C，使得AB=BC，過點B作BD⊥AC且DB=AB，連接AD與⊙O交于點E，連接CE與⊙O交于點F．
（Ⅰ）求證：D，F(xiàn)，B，C四點共圓；
（Ⅱ）若AB=$\sqrt{6}$，DF=$\sqrt{3}$，求BE²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由割線定理得CA•CB=CF•CE，再由圖中的等量關(guān)系，得CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，再通證明△CDE和△CFD相似，從而得出∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE，再由BD⊥AC，即可得證；
（Ⅱ）在等腰Rt△CDB中，CD=2$\sqrt{2}$，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，在Rt△CDE中，求出CE=4，最后在△BCE中，利用余弦定理求出BE²的值．

解答 （1）證明：如圖所示，
∵CA與⊙O交于點B，CE與⊙O交于點F，
∴由割線定理，得CA•CB=CF•CE，
∵AB=BC=DB，DB⊥AC，
∴DA=DC=$\sqrt{2}$CB，∠CDB=∠ADB=45°，
∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，
∴CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，即$\frac{DC}{CF}$=$\frac{CE}{DC}$，
又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，
∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．
又DB⊥AC，
可得D，F(xiàn)，B，C四點共圓；
（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=$\sqrt{6}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．
在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{3}$，∴sin∠DCF=$\frac{1}{2}$，∴∠DCF=30°，
∴在Rt△CDE中，CE=4，
∵∠ECB=∠DCB-∠DCE=15°
∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°-30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴在△BCE中，BE²=BC²+CE²-2BC•CE•cos∠BCE=10-4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查圓中的垂直關(guān)系、割線定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．