Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求證：x＞0時(shí)，ex＞x2﹣2x+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=ex﹣2=0得，x=ln2，

當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，

故當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值也是最小值為f（ln2）=2（2﹣ln2）

（2）解：證明：設(shè)．（x＞0），則g′（x）=ex﹣2x+2，

由（1）知g′（x）=ex﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），

于是對于x＞0，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，

而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，

即x＞0時(shí)，ex＞x2﹣2x+1

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值，也為最小值；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2+2x﹣1，通過導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性，即可得到證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．