Question

某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產品P、Q，該廠的生產能力是月產P產品最多有2500件，月產Q產品最多有1200件；而且組裝一件P產品要4個A、2個B，組裝一件Q產品要6個A、8個B，該廠在某個月能用的A零件最多14000個；B零件最多12000個．已知P產品每件利潤1000元，Q產品每件2000元，欲使月利潤最大，需要組裝P、Q產品各多少件？最大利潤多少萬元？

Answer 1

分析：先分別生產P、Q產品x件、y件，寫出約束條件、目標函數，欲求生產收入最大值的范圍，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．注意：最后要將所求最優(yōu)解還原為實際問題．

解答：解：設分別生產P、Q產品x件、y件，則有

4x+6y≤14000 2x+8y≤12000 0≤x≤2500 0≤y≤1200

…（3分）
設利潤 z=1000x+2000y=1000（x+2y） …（4分）
要使利潤最大，只需求z的最大值．
作出可行域如圖示（陰影部分及邊界）…（6分）
作出直線l：1000（x+2y）=0，即x+2y=0
由于向上平移平移直線l時，z的值增大，所以在點A處z取得最大值…（8分）
由

2x+3y=7000 x+4y=6000

解得

x=2000 y=1000

，即A（2000，1000）…（10分）
因此，此時最大利潤z_max=1000（x+2y）=4000000=400（萬元）．…（11分）
答：要使月利潤最大，需要組裝P、Q產品2000件、1000件，此時最大利潤為400萬元．…（12分）

點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現實問題中．