Question

若（1+3x）（1-2x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵．
（1）求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²；
（2）求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質,二項式定理的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用,二項式定理

分析：（1）運用賦值法，分別令x=1，x=-1，兩式相乘即可得到；
（2）求出（1-2x）⁴=的展開式的通項公式，再求各項的系數(shù)，即可得到所求值．

解答： 解：（1）（1+3x）（1-2x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵．
令x=1得，（1+3）•（-1）⁴=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=4
令x=-1，得，（1-3）（1+2）⁴=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-162．
則（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）
（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅）=-4×162=-648；
（2）由于（1-2x）⁴=的展開式的通項公式T_r+1=

C

r 4

(-2x)r，r=0，1，…，4
則a₁=

C

1 4

•(-2)

+3C

0 4

=-5，a₂=

C

2 4

•(-2)2+

3C

1 4

•(-2)=0，
a₃=

C

3 4

•(-2)3+

3C

2 4

•(-2)2=40，a₄=

C

4 4

•(-2)4+

3C

3 4

•(-2)3=-80，
a₅=3

C

4 4

•(-2)4=48．
則a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅=-5+0+120-320+240=35．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質和賦值法解題的方法，考查二項式的通項公式的運用：求某項的系數(shù)，考查運算能力，屬于中檔題．