知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn).試問軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由離心率為可得到一個(gè)關(guān)于的方程，再根據(jù)MB1⊥MB2即可得；（2）本題采用“設(shè)而不求”的方法，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)這個(gè)性質(zhì),從而由斜率著手，以韋達(dá)定理為輔助工具，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析：（1）由得
又,知是等腰直角三角形，從而.
所以橢圓C的方程是.                                  5分
（2）設(shè)，直線AB的方程為
由得，
所以 ①，②                       8分
若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，
所以
設(shè)，則有，                                 10分
將代入上式，整理得，
將①②代入得，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.
綜上，存在定點(diǎn)，使平分PM平分∠APB.                       13分
考點(diǎn)：1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓，若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點(diǎn)、在軸上（但不屬于），對(duì)上任一點(diǎn)及點(diǎn)，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；
（II）如果，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn),離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線、分別交直線 于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.記直線的斜率為，求證: 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直
線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點(diǎn)C的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△ABC中, 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（－，0），B（，0）點(diǎn)C在x軸上方．
（Ⅰ）若點(diǎn)C坐標(biāo)為（，1），求以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)P（m，0）作傾斜角為的直線l交（1）中曲線于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線相交于，兩點(diǎn)

（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的方程；
（Ⅱ）若線段，求直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案