已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，
2
)，求四邊形ABCD的面積的最大值．
分析：設(shè)d1，d2分別是O到AC，BD的距離，則d12+d22=12+(
2
)2=3，化簡S四邊形=S△CAD+S△CAB=
1
2
•AC•BD
為2
4+(d1d2)2
，再利用基本不等式求得它的最大值．
解答：解：設(shè)d1，d2分別是O到AC，BD的距離，則d12+d22=12+(
2
)2=3，
故S四邊形=S△CAD+S△CAB=
1
2
•AC•BD=
1
2
•2
22-d12
•2
22-d22
=2
(4-d12)(4-d22)

=2
16-4(d12+d22)+(d1d2)2
=2
4+(d1d2)2
≤2
4+(
d12+d22
2
)2
=2
4+(
3
2
)2
=5，
當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2時上式取等號，即d1=d2=
6
2
時上式取等號．
故四邊形ABCD的面積的最大值為 5．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，弦長公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AC、BD為圓O：x2+y2=9的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，
3
)，則四邊形ABCD的面積的最大值為
14
14
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•太原模擬）已知AC、BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，
2
），則四邊形ABCD的面積的最大值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：ax-y+
2
-a=0（a∈R），圓O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時最短？并求出最短弦的長度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，
2
），求四邊形ABCD的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•徐匯區(qū)二模）已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條互相垂直的弦，AC，BD交于點(diǎn)M（1，
2
），且|AC|=|BD|，則四邊形ABCD的面積的最大值等于（　�。�

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