Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

3

|sin（x-

π

4

）|．
（1）求它的定義域和值域．
（2）判斷它的奇偶性，并求出它的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的奇偶性,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可求它的定義域和值域．
（2）根據(jù)奇偶性的定義即可判斷它的奇偶性，并求出它的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）設(shè)t=|sin（x-

π

4

）|．由t=|sin（x-

π

4

）|＞0解得x-

π

4

≠kπ，即x≠

π

4

+kπ，k∈Z，
即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠

π

4

+kπ}．
∵0＜t≤1，所以y≥0，即函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠

π

4

+kπ}關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，
∵函數(shù)t=|sin（x-

π

4

）|的遞減區(qū)間為（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，遞增區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

），
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得函數(shù)f（x）=log 

1

3

|sin（x-

π

4

）|的遞增區(qū)間為（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，遞減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域，值域，奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)復(fù)合函數(shù)以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．