Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡方程去掉絕對值符號，求解所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，寫出函數(shù)y=f（x）的分段函數(shù)的形式，利用配方法求解在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）討論函數(shù)y=f（x）的最值以及函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）x|x-1|+1=x，當(dāng)x≥1時(shí)，可得x²-2x+1=0，解得x=1，當(dāng)x＜1時(shí)，可得1-x²=0，解得x=-1．
所以x=-1或x=1；（2分）
（Ⅱ）f(x)=

x2-x+1，x≥1 -x2+x+1，x＜1

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥1 -(x- 1 2 )2+ 5 4 ，x＜1

（4分）
結(jié)合圖象可知函數(shù)的最大值為f（2）=3，最小值為f（0）=f（1）=1（16分）
（Ⅲ）因?yàn)閍＞0，所以a＞

a

2

，
所以y1=x2-ax+1在[a，+∞）上遞增；y2=-x2+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減，
因?yàn)閒（a）=1，所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1，而f(

a

2

)-a=

a2

4

+1-a=

1

4

(a2-4a+4)=

1

4

(a-2)2≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，上式等號成立．（10分）
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)．（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．