Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

-lnx．
（1）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意的n∈N⁺，有

ln1

1

+

ln2

2

+…+

ln(n-1)

n-1

+

lnn

n

＜

n2

2(n+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,數(shù)列的求和

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明lnn≤

1

2

（n-

1

n

），可得

lnn

n

≤

1

2

（1-

1

n2

），利用放縮法、裂項(xiàng)求和，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+

a-1

x

-lnx，
∴f′（x）=

(x-1)(ax+a-1)

x

（x＞0）
①a≤0時(shí)，f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)；     
②0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）是增函數(shù)，在（1，

1-a

a

）是減函數(shù)； 
③a=

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
（2）證明：由（1）知a=

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≤

1

2

（x-

1

x

），
∴l(xiāng)nn≤

1

2

（n-

1

n

），
∴

lnn

n

≤

1

2

（1-

1

n2

），
∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

ln1

1

+

ln2

2

+…+

ln(n-1)

n-1

+

lnn

n

＜

1

2

[n-（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）]=

n2

2(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．