Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-CDB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題目給出的三棱柱的底面邊長(zhǎng)可證得AC⊥BC，再根據(jù)給出的三棱柱為直三棱柱，有AC⊥CC₁，利用線面垂直的判定可以證明AC⊥面BB₁C₁C，從而得到要證的結(jié)論；
（Ⅱ）要求三棱錐C₁-CDB₁的體積，可以轉(zhuǎn)化為求三棱錐D-B₁C₁C的體積，而三棱錐D-B₁C₁C的高即為AC長(zhǎng)度的一半，所以結(jié)論可求．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，

∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，
AB²=25，AC²=9，BC²=16，∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，∵CC₁⊥面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，又BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）由（1）可知AC⊥平面BCC₁B₁，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴D到平面CC₁B₁B的距離為，
∴==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，求棱錐體積時(shí)運(yùn)用了等積法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．