Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin²$\frac{B-C}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求角A的大��；
（Ⅱ） 若b+c=2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，由0＜B+C＜π，可求$B+C=\frac{π}{3}$，進而可求A的值．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得a²=（b-1）²+3，又b+c=2，可求范圍0＜b＜2，進而可求a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由已知得$\frac{1-cos（B-C）}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，（2分）
化簡得$\frac{1-cosBcosC-sinBsinC}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，
整理得$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$，即$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，（4分）
由于0＜B+C＜π，則$B+C=\frac{π}{3}$，
所以$A=\frac{2π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得${a^2}={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{2π}{3}$（8分）
=b²+c²+bc
=b²+（2-b）²+b（2-b）
=b²-2b+4
=（b-1）²+3．（10分）
又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a²＜4，
所以a的取值范圍是$[\sqrt{3}\;，\;2）$．（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．