Question

已知a＞0，a≠1，數(shù)列{a_n}是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令b_n=a_nlga_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）當(dāng)數(shù)列{b_n}中的每一項總小于它后面的項時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出數(shù)列{a_n}以及數(shù)列{b_n}的通項，再對數(shù)列{b_n}利用錯位相減法求前n項和S_n．
（2）利用條件得到關(guān)于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1兩種情況分別解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知a_n=aⁿ，b_n=naⁿlga．
∴S_n=（1•a+2•a²+3•a³+…+n•aⁿ）lga．
∴aS_n=（1•a²+2•a³+3•a⁴+…+n•aⁿ⁺¹）lga．
以上兩式相減得（1-a）S_n=（a+a²+a³+…+aⁿ-n•aⁿ⁺¹）lga=[

a(1-an)

1-a

-n•an+1]lga．
∵a≠1，∴Sn=

alga

(1-a)2

[1-(1+n-na)an]．
（Ⅱ）由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0，
∵aⁿ＞0，
∴l(xiāng)ga[n（a-1）+a]＞0．①
（1）若a＞1，則lga＞0，n（a-1）+a＞0，故a＞1時，不等式①成立；
（2）若0＜a＜1，則lga＜0，不等式①成立?n（a-1）+a＜0，∴0＜a＜

n

n+1

．
綜合（1）、（2）得a的取值范圍為a＞1或0＜a＜

n

n+1

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項，考查數(shù)列求和，考查解不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定數(shù)列的解析式是關(guān)鍵．