Question

已知函數(shù)f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）記函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，知a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h(x)=

2

x

-2x，x∈[1，+∞)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）由g（x）=2x³+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x²+a，由a≥0時(shí)，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，
∴a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令h(x)=

2

x

-2x，x∈[1，+∞)
∵h′(x)=-

2

x2

-2＜0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減…（4分）
h（x）_max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x³+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x²+a…（9分）
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不合題意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，則x=

-a 6

（舍負(fù)）
∵0＜x＜

-a 6

時(shí)，g′（x）＜0；x＞

-a 6

時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在 (0，

-a 6

)上單調(diào)遞減，在(

-a 6 ，

+∞)上單調(diào)遞增，
則x=

-a 6

是函數(shù)的極小值點(diǎn)．g(x)min=g(x)極小=g(

-a 6

)=-6．…（13分）
解得a=-6，
故f(x)=2x+

2

x

-6lnx．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)是增函數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．