Question

16．已知銳角α，β滿足$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，則β等于$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα、cos（α-β）的值，可得tanα，tan（α-β）的值，再利用兩角和差的正切公式求得tanβ=tan[（α-（α-β）]的值．

解答 解：∵銳角α，β滿足$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{1}{3}$，
∴tanβ=tan[（α-（α-β）]=$\frac{tanα-tan（α-β）}{1+tanα•tan（α-β）}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}•\frac{1}{3}}$=1，
故β=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．