Question

4．已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）
（1）證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），而T_n為數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得a_n=2a_n-1+2，由此構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+2}，求其通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂（a_n+2），進(jìn)一步得到數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （1）由S_n=2a_n-2n，得
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），
兩式作差可得：a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2．
∴a_n+2=2（a_n-1+2）．
則$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}=2$．
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+2=4•{2}^{n-1}$，
則${a}_{n}={2}^{n+1}-2$；
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=$lo{g}_{2}{2}^{n+1}=n+1$，得$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
則${T}_{n}=\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$  ①，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$  ②，
①-②得
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$
=$\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{3}{4}-\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$．
∴${T}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．