Question

17．已知點M（x，y）到定點（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求點M的軌跡方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）若直線l過（2，0）且與點M的軌跡交于點A、B，以AB為直徑的圓恒過原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出點M的坐標，直接由點M（x，y）到定點（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列式整理得方程．
（2）AB為直徑的圓過原點?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0?x₁x₂+y₁y₂=0，從而考慮設直線方程，聯(lián)立直線于橢圓方程進行求解即可．

解答 解：（1）設M（x，y），
∵點M（x，y）到定點（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}}{|x+4|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）由（1）知橢圓的右焦點為（2，0）
∵AB為直徑的圓過原點，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=2交橢圓于（2，$\sqrt{2}$），（2，-$\sqrt{2}$）兩點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2≠0，不合題意
若直線的斜率存在，設斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2），
代入橢圓方程，整理可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
由直線AB過橢圓的右焦點可知△＞0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0
可得k=±$\sqrt{2}$
∴直線l的方程為y=±$\sqrt{2}$（x-2）．

點評 本題考查了與直線有關的動點的軌跡方程，考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程及直線于橢圓位置關系的應用，常見的解題思想是聯(lián)立直線方程與曲線方程，通過方程的根與系數(shù)的關系進行求解．是中檔題．