Question

8．已知過A（0，2）的動圓恒與x軸相切，設切點為B，AC是該圓的直徑．
（Ⅰ）求C點軌跡E的方程；
（Ⅱ）當AC不在軸上時，設直線AC與曲線E交于另一點P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點．求證：△PQC恒為直角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AC是直徑，所以BA⊥BC，或C、B均在坐標原點，由此求C點軌跡E的方程；
（Ⅱ）設直線AC的方程為y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得：x²-8kx-16=0，利用韋達定理及對數(shù)的幾何意義，證明QC⊥PQ，即可證明結論．

解答 （Ⅰ）解：設C點坐標為（x，y），則B點坐標為$（{\frac{x}{2}，0}）$．
因為AC是直徑，所以BA⊥BC，或C、B均在坐標原點．
因此$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{x}{2}$，2）•（$\frac{x}{2}$，y）=0，
故有$\frac{x^2}{4}+2y=0$，即x²=8y，…3 分
另一方面，設$C（{{x_0}，\frac{x_0^2}{8}}）$是曲線x²=8y上一點，
則有$AC=\sqrt{x_0^2+{{（{\frac{x_0^2}{8}-2}）}^2}}=\frac{x_0^2+16}{8}$，AC中點縱坐標為$\frac{{2+\frac{x_0^2}{8}}}{2}=\frac{x_0^2+16}{16}$，
故以AC為直徑的圓與x軸相切．
綜上可知C點軌跡E的方程為x²=8y．                                         …（5分）
（Ⅱ）證明：設直線AC的方程為y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得：x²-8kx-16=0
設 C（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則有x₁x₂=-16．                                       …8 分
由$y=\frac{x^2}{8}$對x求導知$y'=\frac{x}{4}$，
從而曲線E在P處的切線斜率${k_2}=\frac{x_2}{4}$，
直線BC的斜率${k_1}=\frac{{\frac{x_1^2}{8}}}{{{x_1}-\frac{x_1}{2}}}=\frac{x_1}{4}$，…10 分
于是 ${k_1}{k_2}=\frac{{{x_1}{x_2}}}{16}=\frac{-16}{16}=-1$．
因此QC⊥PQ．
所以△PQC恒為直角三角形．                                                   …（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．