Question

13．若φ是銳角，試比較cos（sinφ），sin（cosφ），cosφ的大�。�

Answer 1

分析 討論：①由cosφ在[0，$\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞減的，設(shè)f（φ）=φ-sinφ，可證f（φ）單調(diào)遞增，根據(jù)φ＞sinφ，即可證明cos（sinφ）＞cosφ，②設(shè)cosφ=y，f（y）=y-siny，則可證f（y）單調(diào)遞增，由cosφ在（0，1）內(nèi)，可證cosφ＞sin（cosφ），從而得解．

解答 解：φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
①先比較cosφ和cos（sinφ），
∵cosφ在[0，$\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞減的，
∴設(shè)f（φ）=φ-sinφ，則f（φ）是奇函數(shù)，f'（φ）=1-cos（φ）＞0，f（φ）單調(diào)遞增．
又∵f（0）=0，
∴φ＞0時f（φ）＞0，即φ＞sinφ，
∴在0到$\frac{π}{2}$內(nèi)，cos（sinφ）＞cosφ，
②再比較cosφ和sin（cosφ），
∵cosφ∈（0，1），
設(shè)cosφ=y，f（y）=y-siny，則：f'（y）=1-cosy＞0，f（y）單調(diào)遞增．
∴cosφ在（0，1）內(nèi)，cosφ＞sin（cosφ），
綜上，故：cos（sinφ）＞cosφ＞sin（cosφ）．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，考查了函數(shù)單調(diào)性的應用，根據(jù)條件利用當0＜φ＜$\frac{π}{2}$時，sinφ＜φ是解決本題的關(guān)鍵．有一定的難度．