Question

已知f（x）是定義域?yàn)檎�整�?shù)集的函數(shù)，具有如下性質(zhì)：對(duì)于定義域內(nèi)任意的k，如果f（k）=

1

k+1

成立，則f（k+1）=

1

k+2

(n∈N*)成立，那么下列命題正確的是

 

．
①若f（4）=

1

5

成立，則對(duì)于任意k≥5，均有f（k）=

1

k+1

；
②若f（5）=

1

6

成立，則對(duì)于任意1≤k≤4，均有f（k）≠

1

k+1

；
③若f（6）=1成立，則對(duì)于任意1≤k≤5，均有f（k）≠

1

k+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用已知由f（4）=

1

5

成立，則可得f（5）=

1

6

，依此類推可得：對(duì)于任意k≥5，均有f（k）=

1

k+1

成立；
②錯(cuò)誤，f(5)=

1

6

⇒f(4)≠

1

5

，其逆否命題為 f(4)=

1

5

⇒f(5)≠

1

6

，與條件矛盾；
③正確． 由條件知 f(5)=

1

6

⇒f(6)=

1

7

，其逆否命題為 f(6)≠

1

7

⇒f(5)≠

1

6

，故f(6)=1≠

1

7

可以推出推出f(5)≠

1

6

，依次可推出．

解答： 解：如果f（k）=

1

k+1

成立，則f（k+1）=

1

k+2

(n∈N*)成立，因此
①f（4）=

1

5

成立，則可得f（5）=

1

6

，依此類推可得：對(duì)于任意k≥5，均有f（k）=

1

k+1

，因此成立；
②錯(cuò)誤，f(5)=

1

6

⇒f(4)≠

1

5

，其逆否命題為  f(4)=

1

5

⇒f(5)≠

1

6

，與條件矛盾，故錯(cuò)誤；
③正確． 由條件知  f(5)=

1

6

⇒f(6)=

1

7

，其逆否命題為 f(6)≠

1

7

⇒f(5)≠

1

6

，
故f(6)=1≠

1

7

可以推出推出f(5)≠

1

6

，依次可推出任意1≤k≤5，均有f(k)≠

1

k+1

．
綜上可得：只有①③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推推理、互為逆否命題直角的真假關(guān)系，考查了推理能力，屬于難題．