正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為1的球，則當該棱柱體積最大時，高h=
 
．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,球內(nèi)接多面體
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：由正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為1的球，該棱柱的高為h，則球心到正三棱柱底面ABC的距離的關(guān)系式，進而根據(jù)底面圓的半徑r，球心距d，球半徑R滿足勾股定理，可得r，再由等邊三角形外接圓半徑與邊長的關(guān)系，可得底面邊長a，進而得到底面面積，和棱柱的體積，利用導數(shù)法可得該棱柱體積最大時，高h的值．
解答： 解：設該棱柱的高為h，
由正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距離d=
1
2
h
則正三棱柱底面ABC的底面半徑r=
1-d2
=
1-
1
4
h2

則正三棱柱底面ABC的底面邊長a=
3
r=
2=3-
3
4
h2

則正三棱柱底面ABC的底面面積S=
3
4
a2=
3
3
4
-
3
3
16
h2
則正三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=
1
3
Sh=
3
4
h-
3
16
h3
則V′=
3
4
-
3
3
16
h2
令V′=0，則h=
2
3
3

故當該棱柱體積最大時，高h=
2
3
3
．
故答案為：
2
3
3
．
點評：本題考查球內(nèi)接多面體的體積的求法，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握底面半徑r，球心距d，球半徑R構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，及正三角形邊長，面積，外接圓半徑之間的關(guān)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

試判斷函數(shù)f（x）=lg
1-x
1+x
在（-1，1）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

袋里裝有7個球，每個球上分別標有從1到7的一個號碼，這些球以等可能性（假定不受重量的影響）從袋里取出．已知號碼n的球重
n2
3
-
7
3
n+8克，
（Ⅰ）如果任意取出一球，求其重量大于號碼數(shù)的事件A的概率；
（Ⅱ）如果同時任意取出兩球，求它們重量相同的事件B的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立；②對任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0成立，則（　�。�
A、f（0）＜f（
2
）＜f（3）
B、f（3）＜f（
2
）＜f（0）
C、f（3）＜f（0）＜f（
2
）
D、f（0）＜f（3）＜f（
2
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-（a-1）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）當a=6時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（Ⅲ）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得在點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當a=1時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，具有如下性質(zhì)：對于定義域內(nèi)任意的k，如果f（k）=
1
k+1
成立，則f（k+1）=
1
k+2
(n∈N*)成立，那么下列命題正確的是
 
．
①若f（4）=
1
5
成立，則對于任意k≥5，均有f（k）=
1
k+1
；
②若f（5）=
1
6
成立，則對于任意1≤k≤4，均有f（k）≠
1
k+1
；
③若f（6）=1成立，則對于任意1≤k≤5，均有f（k）≠
1
k+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，地面ABCD為正方形，PA⊥地面ABCD，AB=AP=1，E為PB的中點．
（1）證明：AE⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-BPC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

福州、廈門、莆田、龍巖四個城市，它們分別有一個著名的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍崆洞，把福州、廈門、莆田、龍巖四個城市和它們的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍崆洞分別寫成左右兩列，現(xiàn)在一名旅游愛好者隨機用4條線把左右全部連接起來，構(gòu)成“一一對應”，已知連對的得2分，連錯的得0分（如圖所示是一種“一一對應”的連法，連對的只有一個“廈門→鼓浪嶼”）．
（Ⅰ）求該旅游愛好者只得2分的概率；
（Ⅱ）該旅游愛好者的得分記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…+
x2011
2011
，試問函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有多少個零點？（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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