已知橢圓
x2
4
+
y2
1
=1，點(diǎn)M（2，3）過M點(diǎn)引直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：利用點(diǎn)差法來求弦的中點(diǎn)問題．可先設(shè)弦AB的中點(diǎn)P以及A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線AB斜率分別用P點(diǎn)坐標(biāo)以及M點(diǎn)坐標(biāo)表示，化簡即可得含x，y的方程，即弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
解答：解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），直線AB：y-3=k（x-3）
則x12+4y12=4①，x22+4y22=4②
①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
整理得：
4(y1+y2)
x1+x2
•
y1-y2
x1-x2
=-1
化簡得：k=
y1-y2
x1-x2
=-
4y
x
代入y-3=k（x-2）
整理得：x2+4y2-3x-12y=0，即為AB的中點(diǎn)P的軌跡方程
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦斜率問題，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x24
+y2=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)A，M，N的圓與經(jīng)過三點(diǎn)B，M，N的圓分別記為圓C1與圓C2．
（1）求證：無論t如何變化，圓C1與圓C2的圓心距是定值；
（2）當(dāng)t變化時(shí)，求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+y2=1，過E（1，0）作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，已知kAB•kCD=-
1
4
．
（1）若AB的中點(diǎn)為M，CD的中點(diǎn)為N，求證：①kOM•kON=-
1
4
為定值，并求出該定值；②直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）求四邊形ACBD的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+y2=1，弦AB所在直線方程為：x+2y-2=0，現(xiàn)隨機(jī)向橢圓內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
4π
π-2
4π
．
（橢圓的面積公式S=π•a•b，其中a是橢圓長半軸長，b是橢圓短半軸長）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)三模）已知橢圓
x2
4
+y2=1的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可以是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x24
+y2=1，過點(diǎn)M（-1，0）作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求AB中點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

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