Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+1，（a，b為常數(shù)）．若，且f（x）的最小值為0，
（1）若在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．
（2）若，對任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，，f（x）的最小值為0，
∴，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴=
=4x+-4≥2-4=4-4，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=，即x=時，g（x）取最小值4-4．
∵在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴，或，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵，對任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
當(dāng)x₀∈[-2，2]時，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2時取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴=4x+-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范圍是（-∞，25）．
分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，，f（x）的最小值為0，解得（x）=4x²-4x+1．所以=4x+-4≥2-4=4-4，再由在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，能求出k的取值范圍．
（2）當(dāng)x₀∈[-2，2]時，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2時取最大值f（x₀）_max=25．故=4x+-4＜25在[1，2]恒成立，等價于4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，由此能求出k的范圍．
點(diǎn)評：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理、二次函數(shù)的靈活運(yùn)用．