Question

17．在四面體S-ABC中，$AB⊥BC，AB=BC=\sqrt{2}，SA=SC=2$，二面角S-AC-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則該四面體外接球的表面積是（　　）

• A． $8\sqrt{6}π$
• B． $\sqrt{6}π$
• C． 24π
• D． 6π

Answer 1

分析 取AC中點D，連接SD，BD，由題意可得∠SDB為二面角S-AC-B，取等邊△SAC的中心E，找出O點為四面體的外接球球心．

解答 解：取AC中點D，連接SD，BD，
因為AB=BC=$\sqrt{2}$，所以BD⊥AC，
因為SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
所以∠SDB為二面角S-AC-B．
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，
所以AC=2．
取等邊△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，
過D作DO⊥平面ABC，O為外接球球心，
所以ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角S-AC-B的余弦值是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以cos∠EDO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$=OA=OS=OC
所以O點為四面體的外接球球心，
其半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，表面積為6π．
故選：D．

點評 解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，利用已知條件求出線段長度，進而確定圓心的位置即可求出圓的半徑．