Question

10．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為（2，θ），過點M斜率為1的直線交圓C于A，B兩點．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）求|MA|•|MB|的范圍．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標方程．
（2）點M的直角坐標為（2cosθ，2sinθ），從而直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{x=2sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，把直線參數(shù)方程代入圓C方程，得${t}^{2}+\sqrt{2}（2osθ+2sinθ-1）t+\frac{9}{2}-4cosθ=0$，由此利用根的判別式根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義能求出|MA|•|MB|的取值范圍．

解答 解：（1）∵圓C的方程為（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$，即${x}^{2}+{y}^{2}-2x+\frac{1}{2}$=0，
∴由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得圓C的極坐標方程為：${ρ}^{2}-2ρcosθ+\frac{1}{2}=0$．
（2）∵點M的極坐標為（2，θ），∴點M的直角坐標為（2cosθ，2sinθ），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{x=2sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，
直線l與圓C交于A，B兩點，把直線參數(shù)方程代入圓C方程，得：
${t}^{2}+\sqrt{2}（2osθ+2sinθ-1）t+\frac{9}{2}-4cosθ=0$，
$△=2（2cosθ+2sinθ-1）^{2}-4（\frac{9}{2}-4cosθ）＞0$，
解得0＜θ＜$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}＜θ＜\frac{3π}{2}$，
根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=|$\frac{9}{2}-4cosθ$|，
∴|MA|•|MB|的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{2}$）．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查線段乘積的求法，考查兩點間距離公式的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的合理運用．