Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．
（1）求證：存在實(shí)數(shù)λ使得數(shù)列{a_n+λ}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1-3，解得a₁=4．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-1-3）$，化為a_n=3a_n-1+2，
變形為：a_n+1=3（a_n-1+1），
因此取λ=1，則數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為5，公比為3．
（2）由（1）可得：a_n+1=5×3^n-1，可得a_n=5×3^n-1-1，
∴na_n=5n×3^n-1-n．
數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=5（1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1）-$\frac{n（n+1）}{2}$．
設(shè)A_n=1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1，
∴3A_n=3+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
-2A_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n×3ⁿ，
∴A_n=$\frac{（2n-1）×{3}^{n}+1}{4}$．
∴T_n=$\frac{5（2n-1）×{3}^{n}+5}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．