Question

求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx．x∈（0，

π

3

）的最大值并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由 x∈（0，

π

3

），可得(x+

π

4

)∈(

π

4

，

7π

12

)，t∈(1，

2

]，sinxcosx=

t2-1

2

．于是函數(shù)f（x）=

1

2

t2+t-

1

2

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

3

），
∴(x+

π

4

)∈(

π

4

，

7π

12

)，t∈(1，

2

]，則sinxcosx=

t2-1

2

．
∴函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1，
∴函數(shù)f（x）在（1，

2

）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=

2

，即sin（

π

4

+x）=1時(shí)，
函數(shù)f（x）有最大值

2

-

1

2

．     
此時(shí)，x=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的同角基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．