Question

10．某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，前三次射擊在靶上的著彈點(diǎn)A、B、C剛好是邊長(zhǎng)分別為$5cm，6cm，\sqrt{13}cm$的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ） 該運(yùn)動(dòng)員前三次射擊的成績(jī)（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間[7.5，8.5）內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績(jī)（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間[9.5，10.5）內(nèi)．現(xiàn)從這6次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩次射擊的成績(jī)（記為a和b）進(jìn)行技術(shù)分析．求事件“|a-b|＞1”的概率．
（Ⅱ） 第四次射擊時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員瞄準(zhǔn)△ABC區(qū)域射擊（不會(huì)打到△ABC外），則此次射擊的著彈點(diǎn)距A、B、C的距離都超過(guò)1cm的概率為多少？（彈孔大小忽略不計(jì)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）前三次射擊成績(jī)依次記為x₁，x₂，x₃，后三次成績(jī)依次記為y₁，y₂，y₃，從這6次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，利用列舉法求出基本事件個(gè)數(shù)，并找出可使|a-b|＞1發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出事件“|a-b|＞1”的概率．
（Ⅱ）因?yàn)橹鴱楛c(diǎn)若與x₁、x₂、x₃的距離都超過(guò)y₁、y₂、y₃cm，利用幾何概型能求出此次射擊的著彈點(diǎn)距A、B、C的距離都超過(guò)1cm的概率．

解答 解：（Ⅰ）前三次射擊成績(jī)依次記為x₁，x₂，x₃，后三次成績(jī)依次記為y₁，y₂，y₃，
從這6次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，
基本事件是：{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₂，x₃}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}，
{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₁，y₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₂，y₃}，
{x₃，y₁}，{x₃，y₂}，{x₃，y₃}，共15個(gè)，…（3分）
其中可使|a-b|＞1發(fā)生的是后9個(gè)基本事件．
故$P（|a-b|＞1）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)橹鴱楛c(diǎn)若與x₁、x₂、x₃的距離都超過(guò)y₁、y₂、y₃cm，
則著彈點(diǎn)就不能落在分別以6為中心，
半徑為{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₂，x₃}cm的三個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，只能落在扇形外的部分…（7分）
因?yàn)?cosC=\frac{4}{5}∴sinC=\frac{3}{5}則$${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×5×6×sinC=9$，…（9分）
滿足題意部分的面積為$S'={S_{△ABC}}-\frac{1}{2}×{1^2}×π=9-\frac{π}{2}$，…（11分）
故所求概率為$p=\frac{S'}{{{S_{△ABC}}}}=1-\frac{π}{18}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．