Question

17．為降低汽車尾氣的排放量，某廠生產(chǎn)甲乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從甲乙兩種節(jié)排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示．

節(jié)排器等級及利潤如表格表示，其中$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{7}$

綜合得分k的范圍	節(jié)排器等級	節(jié)排器利潤率
k≥85	一級品	a
75≤k＜85	二級品	5a2
70≤k＜75	三級品	a2

（1）若從這100件甲型號節(jié)排器按節(jié)排器等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一級品的概率；
（2）視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計(jì)總體，則
①若從乙型號節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
②從長期來看，骰子哪種型號的節(jié)排器平均利潤較大？

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一級品的概率．
（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為$\frac{7}{10}$，二級品的概率$\frac{1}{4}$，三級品的概率為$\frac{1}{20}$，若從乙型號節(jié)排器隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且$ξ～B（3，\frac{1}{4}）$，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
②由題意分別求出甲型號節(jié)排器的利潤的平均值和乙型號節(jié)排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．

解答 解：（1）至少有2件一級品的概率$P=\frac{C_6^2C_4^1+C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{3}$．
（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為$\frac{7}{10}$，
二級品的概率$\frac{1}{4}$，三級品的概率為$\frac{1}{20}$，若從乙型號節(jié)排器隨機(jī)抽取3件，
則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且$ξ～B（3，\frac{1}{4}）$，
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{3}{4}）^3}{（\frac{1}{4}）^0}=\frac{27}{64}，P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{27}{64}$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{9}{64}，P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{4}）^0}{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{1}{64}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以數(shù)學(xué)期望$E（ξ）=0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{27}{64}+3×\frac{27}{64}=\frac{3}{4}$（或$E（ξ）=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$）．
②由題意知，甲型號節(jié)排器的利潤的平均值${E_1}=\frac{3}{5}a+\frac{2}{5}×5{a^2}=2{a^2}+\frac{3}{5}a$，
乙型號節(jié)排器的利潤的平均值${E_2}=\frac{7}{10}a+\frac{1}{4}×5{a^2}+\frac{1}{20}{a^2}=\frac{13}{10}{a^2}+\frac{7}{10}a$，
${E_1}-{E_2}=\frac{7}{10}{a^2}-\frac{1}{10}a=\frac{7}{10}a（a-\frac{1}{7}）$，又$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{7}$，
所以投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．