Question

點(diǎn)P是雙曲線

y2

9

-

x2

16

=1的上支上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)一定適合的方程是（　　）

A．y=-3

B．y=3

C．x²+y²=5

D．y=3x²-2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)C，由圓的切線長(zhǎng)定理得|PA|=|PB|，|F₁B|=|F₁C|且|F₂A|=|F₂C|，結(jié)合雙曲線的定義算出在實(shí)軸上的切點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．因?yàn)镃M⊥y軸，所以得到CM所在直線方程為y=3，得到本題答案．

解答：解：∵雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

16

=1，
∴a²=9，b²=16，得c=

a2+b2

=5
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)C，
則|PA|=|PB|，|F₁B|=|F₁C|，|F₂A|=|F₂C|，
又∵點(diǎn)P在雙曲線上支上，
∴|PF₂|-|PF₁|=2a=6，
即（|F₂A|+|PA|）-（|F₁B|+|PB|）=6，化簡(jiǎn)得|F₂A|-|F₁B|=6，
即|F₂C|-|F₁C|=6，而|F₁C|+|F₂C|=2c=10，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，λ），由|F₂C|-|F₁C|=6可得（λ+5）-（5-λ）=6
解之得λ=3，得C的坐標(biāo)為（0，3）
∵圓M與F₁F₂切于點(diǎn)C，
∴CM⊥y軸，可得CM所在直線方程為y=3

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角形，求三角形的內(nèi)切圓圓心滿足的條件，著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．