Question

f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（-1）=0，則不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)積函數(shù)的求導(dǎo)法則可知F（x）=（x²+1）f（x），依題意可知可判斷函數(shù)F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（-1）=f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則f（x）＞0的解集即可求得
解答：解：令F（x）=（x²+1）f（x），
則F′（x）=（x²+1）f′（x）+2xf（x），
∵當(dāng)x＞0時，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，
∴當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-1）=0，
∴f（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）＞0，
∴f（x）＞0；①
又F（-x）=）=（x²+1）f（-x）=-（x²+1）f（x）=-F（x），
∴F（x）=（x²+1）f（x）為奇函數(shù)，又x＞0時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x＜0時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵f（-1）=0，
∴當(dāng)x＜-1時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）＞0，從而f（x）＞0；②
由①②得：0＜x＜1或x＜-1時f（x）＞0．
∴不等式f（x）＞0的解集是（0，1）∪（-∞，-1）．
故選D．
點評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)的圖象特征，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬難題．