Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²+（x-1）e^x
（1）當(dāng)a=-$\frac{e+1}{2}$時(shí)，求f（x）在點(diǎn)P（1，f（1）處的切線方程
（2）討論f（x）的單調(diào)性
（3）當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0時(shí)，f（x）是否存極值？若存在，求所有極值的和的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-$\frac{e+1}{2}$時(shí)，f′（x）=-（e+1）x+xe^x，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f（x）在點(diǎn)P（1，f（1）處的切線方程．
（2）由f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a），根據(jù)a≥0，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，a=-$\frac{1}{2}$，a＜-$\frac{1}{2}$，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)討論f（x）的單調(diào)性．
（3）x₁=ln（-2a）為極大值點(diǎn)，x₂=0為極小值點(diǎn)，所有極值的和即為f（x₁）+f（x₂，由此能求出所有極值的和的取值范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）當(dāng)a=-$\frac{e+1}{2}$時(shí)，f（x）=-$\frac{e+1}{2}$x²+（x-1）e^x，∴f（1）=-$\frac{e+1}{2}$
f′（x）=-（e+1）x+xe^x∴f′（1）=-1
切線方程為：y+$\frac{e+1}{2}$=-（x-1）即：2x+2y+e-1=0
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a）
①當(dāng)2a≥0即a≥0時(shí)，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，ln（-2a））上單調(diào)遞增，
在（ln（-2a），0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，0））上單調(diào)遞增，在（0，ln（-2a））上單調(diào)遞減，
在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由（2）知，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0時(shí)，f（x）在（-∞，ln（-2a））上單調(diào)遞增，
在（ln（-2a），0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x₁=ln（-2a）為極大值點(diǎn)，x₂=0為極小值點(diǎn)，所有極值的和即為f（x₁）+f（x₂），
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1，
∵x₁=ln（-2a）∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$（-$\frac{1}{2}$x₁²+x₁-1）-1
∵-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$∴$\frac{1}{e}$＜-2a＜1∴-1＜x₁=ln（-2a）＜0
令ϕ（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²+x-1）-1（-1＜x＜0）
∴ϕ′（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²）＜0∴ϕ（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，
∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（-1）
即-2＜ϕ（x）＜-$\frac{5}{2e}$-1．
∴所有極值的和的取值范圍為（-2，-$\frac{5}{2e}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查所有極值的取值范圍的求法，考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．