Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（II）若關(guān)于x的不等式f′（x）≤ax-a+1恒成立，求實數(shù)a的集合．

Answer 1

分析：（I）由原函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點對函數(shù)的定義域進(jìn)行分段討論后，即可得到答案；
（II）由f′（x）≤ax-a+1恒成立，得lnx-ax+a≤0，對參數(shù)a進(jìn)行討論，設(shè)g（x）=lnx-ax+a，由此能求出g（x）最大值，只需使該最大值≤0，從而能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
因為f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=

1

e

，
當(dāng)0＜x＜

1

e

時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

e

時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

e

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞）．
故f（x）在x=

1

e

處取得極小值f（

1

e

）=-

1

e

，
（II）由f′（x）=lnx+1知，不等式f′（x）≤ax-a+1恒成立，得lnx-ax+a≤0恒成立，
①若a≤0，則當(dāng)x＞1時，lnx＞0，-ax+a=-a（x-1）≥0
即lnx-ax+a＞0與條件矛盾；                              
②若a＞0，令g（x）=lnx-ax+a，則g′(x)=

a( 1 a -x)

x

，
當(dāng)0＜x＜

1

a

時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞

1

a

時，g′（x）＜0，
所以g（x）_max=g（

1

a

）=ln

1

a

-1+a=-lna+a-1，
所以要滿足條件不等式恒成立，只需-lna+a-1≤0即可，
再令h（a）=-lna+a-1，則 h′(a)=

a-1

a

，
當(dāng)0＜a＜1時，h′（a）＜0，當(dāng)a＞1時，h′（a）＞0，
所以h（a）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即h（a）_min=h（1）=0，所以a=1
綜上所述，a的取值集合為{a|a=1}．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的靈活運用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．