Question

設(shè)A、B、C為三角形的三內(nèi)角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)方程有兩等根判定△=0，進(jìn)而求出（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0，依據(jù)正弦定理把角換成邊，化簡得a+c=2b，代入余弦定理得cosB=

3

2

•

b2

ac

-1，再根據(jù)a+c=2b兩邊平方，得出b²與ac的關(guān)系，進(jìn)而推斷出cosB的范圍，求出B的范圍．

解答：解：依題意△=（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0
根據(jù)正弦定理得：（a-c）²-4（b-a）（c-b）=a²+c²-2ac-4（bc-b²-ac+ab）=（a²+c²+2ac）-4（ab+bc）+4b²
=（a+c）²-4b（a+c）+4b²=（a+c-2b）²=0
即a+c=2b
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

[(a+c)2-2ac-b2]

2ac

=

(3b2- 2ac)

2ac

=

3

2

•

b2

ac

-1
∵（2b）²=（a+c）²≥4ac，∴b²≥ac
∴

3

2

•

b2

ac

-1≥

3

2

-1=

1

2

又∵-1＜cosB＜1，
∴

1

2

≤cosB＜1
∴0＜B≤60°
故答案為B≤60°

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，在解三角形問題中，常用這兩個公式完成邊角互化，故應(yīng)重點(diǎn)掌握．