Question

設(shè)A、B、C為三角形的三內(nèi)角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B（　　）

A．B＞60°

B．B≥60°

C．B＜60°

D．B≤60°

Answer 1

分析：根據(jù)方程有兩等根判定△=0，進(jìn)而求出（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0，依據(jù)正弦定理把角換成邊，化簡得a+c=2b，代入余弦定理得cosB=

3

2

•

b2

ac

-1，
再根據(jù)a+c=2b兩邊平方，得出b²與ac的關(guān)系，進(jìn)而推斷出cosB的范圍，求出B的范圍．

解答：解：A、B、C為三角形的三內(nèi)角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，
故有△=（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0．
根據(jù)正弦定理得：（a-c）²-4（b-a）（c-b）=a²+c²-2ac-4（bc-b²-ac+ab）=（a²+c²+2ac）-4（ab+bc）+4b²
=（a+c）²-4b（a+c）+4b²=（a+c-2b）²=0，
即a+c=2b．
∴cosB=

a2+c 2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

3b2-2ac

2ac

=

3

2

•

b2

ac

-1，
∵（2b）²=（a+c）²≥4ac，∴b²≥ac，∴

3

2

•

b2

ac

-1≥

3

2

-1=

1

2

．
又∵-1＜cosB＜1，∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤60°，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，在解三角形問題中，常用這兩個(gè)公式完成邊角互化，故應(yīng)重點(diǎn)掌握，屬于中檔題．