Question

3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一種，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)字，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢×矢），弧田是由圓�。ê�(jiǎn)稱為弧田弧）和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（簡(jiǎn)稱為弧田弧）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長(zhǎng)，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弦長(zhǎng)AB等于6米，其弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為$\frac{7}{2}$平方米，則cos∠AOB=（　�。�

• A． $\frac{1}{25}$
• B． $\frac{3}{25}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 由弧田面積求出矢=1，設(shè)半徑為r，圓心到弧田弦的距離為d，列出方程組求出d=4，r=5，從而得到cos∠AOD=$\frac6611111{r}$=$\frac{4}{5}$，再由cos∠AOB=2cos²∠AOD-1，能求出結(jié)果．

解答 解：如圖，由題意可得：AB=6，
弧田面積S=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}×$（6×矢+矢²）=$\frac{7}{2}$平方米．
解得矢=1，或矢=-7（舍），
設(shè)半徑為r，圓心到弧田弦的距離為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{r-d=1}\\{{r}^{2}=9+1111116^{2}}\end{array}\right.$，解得d=4，r=5，
∴cos∠AOD=$\frac1666111{r}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠AOB=2cos²∠AOD-1=$\frac{32}{25}$-1=$\frac{7}{25}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式、弧田面積計(jì)算公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．