Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=2cosx（cos+\sqrt{3}sinx）$（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2cosx（cos+\sqrt{3}sinx）$（x∈R）．
化解可得：f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
∴函數(shù)y=f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$
∵$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤$$2kπ+\frac{π}{2}$，
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$（kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}）$（k∈Z）；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{3}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．