Question

已知函數(shù)f（x）是y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=-

1

x+2

的圖象關(guān)于直線x=-2成軸對(duì)稱圖形，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的解析式及定義域；
（2）試問在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-4-x，y）．由此可知g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．從而得到F（x）的解析式及定義域．
（2）由f（x）和g（x）都是減函數(shù)，知F（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．由此可知不存在這樣兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直．

解答：解：（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，
則P關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-4-x，y）．
由題設(shè)知點(diǎn)P′（-4-x，y）在函數(shù)y=-

1

x+2

的圖象上，
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）設(shè)F（x）上不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
則y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=lg

1-x1

1+x1

+

1

x1+2

-lg

1-x2

1+x2

-

1

x2+2

=lg(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)+(

1

x1+2

-

1

x2+2

)
=lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)+

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

．
由-1＜x1＜x2＜1    得

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，
所以lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)＞0，

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)，故不存在A，B兩點(diǎn)，使AB與y軸垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調(diào)性法使問題變得簡(jiǎn)單明了．