Question

設AB是單位圓O的直徑，N是圓上的動點，過點N的切線與過點A、B的切線分別交于D、C兩點．四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點為G，求G的軌跡．

Answer 1

解：以圓心O為原點，直徑AB為x軸建立直角坐標系，
則A（-1，0），B（1，0），單位圓的方程為x²+y²=1，
設N的坐標為（cosθ，sinθ），則切線DC的方程為：xcosθ+ysinθ=1，
由此可得C（1，），D（-1，），
AC的方程為y=（x+1），
BD的方程為y=-（x-1），
將兩式相乘得：y²=（x²-1），
即x²+4y²=1
當點N恰為A或B時，四邊形ABCD變?yōu)榫�段AB，這不符合題意，所以軌跡不能包括A、B兩點，所以G的軌跡方程為x²+4y²=1，（-1＜x＜1）．
分析：要求G的軌跡，需建立直角坐標系，故以圓心O為原點，直徑AB為x軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），單位圓的方程為x²+y²=1，再設出N（cosθ，sinθ），從而得到DC的方程，從而有C、D的坐標與直線AC、BD的方程，繼而可求得G的軌跡．
點評：本題考查直線和圓的方程的應用，關鍵在于建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担�求得直線DC、AC、BD的方程，消掉參數(shù)即可，易錯點在于G的軌跡方程為x²+4y²=1，（-1＜x＜1），不是整個橢圓，屬于難題．