Question

設(shè)AB是單位圓O的直徑，N是圓上的動點，過點N的切線與過點A、B的切線分別交于D、C兩點．四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點為G，求G的軌跡．

Answer 1

以圓心O為原點，直徑AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（-1，0），B（1，0），單位圓的方程為x²+y²=1，
設(shè)N的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），則切線DC的方程為：xcosθ+ysinθ=1，
由此可得C（1，

1-cosθ

sinθ

），D（-1，

1+cosθ

sinθ

），
AC的方程為y=

1-cosθ

2sinθ

（x+1），
BD的方程為y=-

1+cosθ

2sinθ

（x-1），
將兩式相乘得：y²=-

1-cos2θ

4sin2θ

（x²-1），
即x²+4y²=1
當(dāng)點N恰為A或B時，四邊形ABCD變?yōu)榫�段AB，這不符合題意，所以軌跡不能包括A、B兩點，所以G的軌跡方程為x²+4y²=1，（-1＜x＜1）．