Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說(shuō)明理由．
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)S_n與a_n的關(guān)系通過(guò)相減的思想得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，證明出該數(shù)列是特殊數(shù)列，進(jìn)而確定出其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）解法一：確定出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，數(shù)列為等差數(shù)列首先保證其前3項(xiàng)滿足等差數(shù)列的關(guān)系，得出關(guān)于λ的方程，從而確定出λ的值；
解法二：先確定出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n的表達(dá)式，利用數(shù)列為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征尋找關(guān)于λ的方程，通過(guò)求解方程確定出λ的值；
（Ⅲ）對(duì)該和式的通項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，用到了裂項(xiàng)求和的思想，求出該和式，利用函數(shù)的單調(diào)性完成該不等式的證明．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：2a_n+1+S_n-2=0．①n≥2時(shí)，2a_n+S_n-1-2=0．②
①─②得，
∵．
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴．
（Ⅱ）解法一：∵．
若為等差數(shù)列，
則成等差數(shù)列，
2，
得λ=2．
又λ=2時(shí)，，顯然{2n+2}成等差數(shù)列，
故存在實(shí)數(shù)λ=2，使得數(shù)列成等差數(shù)列．
解法二：∵．
∴．
欲使成等差數(shù)列，只須λ-2=0即λ=2便可．
故存在實(shí)數(shù)λ=2，使得數(shù)列成等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：∵
=
∴
=…
==
又函數(shù)=在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴，
∴，．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)，要用好數(shù)列的前n項(xiàng) S_n與a_n的關(guān)系，等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)公式，裂項(xiàng)求和的思想和方法，數(shù)列的函數(shù)意識(shí)．