Question

記

n

i=1

a_i=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則函數(shù)f（x）=

21

n=1

|x-n|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由絕對值的不等式結(jié)合等差數(shù)列的前n項和得到函數(shù)f（x）=

n

i=1

|x-n|的最小值=

1

4

(n2-1)，取n=21得答案．

解答： 解：由|x-1|+|x-n|≥丨n-x+x-1丨=n-1，
同理：
|x-2|+|x-（n-1）|≥n-3，
|x-3|+|x-（n-2）|≥n-5，
…
|x-

1

2

（n-1）|+|x-

1

2

（n+3）|≥2，
當x=

1

2

（n+1）（即1，n的中點）有|x-

1

2

（n+1）|取最小值0．
故函數(shù)f（x）=

n

i=1

|x-n|的最小值=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=

1

4

(n2-1)，
此時x=

1

2

（n+1）．
∴當x=

1

2

(21+1)=11時，函數(shù)f（x）=

21

n=1

|x-n|的最小值為

1

4

×(212-1)=110．
故答案為：110．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓練了絕對值不等式的用法，是中檔題．