Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0對(duì)任x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為﹣2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2﹣2ax+1的對(duì)稱軸為x=a，

∵f（x）在區(qū)間（﹣1，2）上是單調(diào)函數(shù)，

∴a≤﹣1或a≥2，

故a的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）

（2）解：∵不等式f（x）＞0對(duì)任x∈R上恒成立，

∴△=4a2﹣4＜0，

解得﹣1＜a＜1，

故a的取值范圍為（﹣1，1）

（3）解：二次函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，

當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞]上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= ，或a=﹣ （舍去），

綜上所述，a= ．

【解析】1、本題考查的是二次函數(shù)的單調(diào)性，f（x）在區(qū)間（﹣1，2）上是單調(diào)函數(shù)，（﹣1，2）是單I調(diào)區(qū)間的一部分，所以a≤﹣1或a≥2。
2、本題考查的是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)f（x）＞0對(duì)任x∈R上恒成立，△=4a2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1。
3、本題考查的是二次函數(shù)的最值情況，二次函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1，當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= 3 ，或a=﹣ 3 （舍去），所以a= .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�