Question

【題目】已知直線l與橢圓 交于兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為 ，向量 =（ax1 ， by1）， =（ax2 ， by2），且 ⊥ ，O為坐標原點． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知 ，∴ ，∴b2=a2﹣c2=1 ∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）△AOB的面積為定值1．
∵ ，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0
① 若直線l斜率不存在，設直線l的方程為x=p，則x1=x2=p，y1=﹣y2 ，
∵4x1x2+y1y2=0，∴
∵ ，∴
∴S△AOB= =1；
②若直線l斜率存在，設直線l的方程為y=kx+r，代入橢圓方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0
∴x1+x2=﹣ ，x1x2=
∵4x1x2+y1y2=0
∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0
∴r2﹣4﹣ +r2=0
∴2r2=4+k2 ， ∴r2≥2
∴△=16（k2﹣r2+4）＞0
設原點O到直線l的距離為d，則S△AOB= d|AB|= × =
綜上可知，△AOB的面積為定值1．
【解析】（Ⅰ）利用橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為 ，確定橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）先利用向量知識，可得4x1x2+y1y2=0，再分類討論，求出面積，即可求得結論．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．