【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點(diǎn).

(1)證明:

(2)設(shè)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),若線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】試題分析:(1)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直則需證明線(xiàn)面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,,因此平面,從而得證(2)先找到EH什么時(shí)候最短,顯然當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)的最小時(shí), ,在中, , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出兩個(gè)面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,

為正三角形.又的中點(diǎn),∴.

,因此.

平面, 平面,∴.

平面, 平面,

平面.又平面,∴.

(2)如圖, 上任意一點(diǎn),連接 .

當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)的最小時(shí), ,由(1)知,

平面, 平面,故.

中, , ,

中, , ,∴.

由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點(diǎn),

可得, , ,

, ,

所以, .

設(shè)平面的一法向量為,

因此,

,則,

因?yàn)?/span>, , ,所以平面,

為平面的一法向量.又

所以 .

易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考已知橢圓 的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,垂足為點(diǎn),且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).

I)求橢圓的方程;

II)如圖,若直線(xiàn) 與橢圓交于, 兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.

【答案】I;(II

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可得, 故斜率為由直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,可得,因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),∴點(diǎn)的坐標(biāo)是,

代入直線(xiàn)得,連立方程即可得, ;(2)∵四邊形為平行四邊形,∴,設(shè), , ,∴ ,得,將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,利用弦長(zhǎng)公式得EF,則平行四邊形的面積為

.

解析:(1)由題意知,橢圓的左頂點(diǎn),上頂點(diǎn),直線(xiàn)的斜率,

,

因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),∴點(diǎn)的坐標(biāo)是,

由點(diǎn)在直線(xiàn)上,∴,且,

解得,

∴橢圓的方程為.

(2)設(shè), ,

代入消去并整理得

, ,

,

∵四邊形為平行四邊形,∴ ,

,將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,

∴平行四邊形的面積為

.

故平行四邊形的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了響應(yīng)廈門(mén)市政府“低碳生活,綠色出行”的號(hào)召,思明區(qū)委文明辦率先全市發(fā)起“少開(kāi)一天車(chē),呵護(hù)廈門(mén)藍(lán)”綠色出行活動(dòng).“從今天開(kāi)始,從我做起,力爭(zhēng)每周至少一天不開(kāi)車(chē),上下班或公務(wù)活動(dòng)帶頭選擇步行、騎車(chē)或乘坐公交車(chē),鼓勵(lì)拼車(chē)……”鏗鏘有力的話(huà)語(yǔ),傳遞了綠色出行、低碳生活的理念.

某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了本市部分成年市民某月騎車(chē)次數(shù),統(tǒng)計(jì)如下:

人數(shù)  次數(shù)

年齡

[0,10)

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60]

18歲至31歲

8

12

20

60

140

150

32歲至44歲

12

28

20

140

60

150

45歲至59歲

25

50

80

100

225

450

60歲及以上

25

10

10

18

5

2

聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)組織于2013年確定新的年齡分段:44歲及以下為青年人,45歲至59歲為中年人,60歲及以上為老年人.用樣本估計(jì)總體的思想,解決如下問(wèn)題:

(1)估計(jì)本市一個(gè)18歲以上青年人每月騎車(chē)的平均次數(shù);

(2)若月騎車(chē)次數(shù)不少于30次者稱(chēng)為“騎行愛(ài)好者”,根據(jù)這些數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛(ài)好者”與“青年人”有關(guān)?

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,是平行四邊形,,,,,分別是的中點(diǎn).

)證明:平面平面;

)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓 ,其左右焦點(diǎn)為、,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓 兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為, 的中垂線(xiàn)與軸和軸分別交于、兩點(diǎn),且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的方程;

(2)記的面積為, 為原點(diǎn))的面積為,試問(wèn):是否存在直線(xiàn),使得?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知圓 與拋物線(xiàn) 相交于, 兩點(diǎn),分別以點(diǎn), 為切點(diǎn)作圓的切線(xiàn).若切線(xiàn)恰好都經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由題得設(shè)A, ,聯(lián)立圓E和拋物線(xiàn)得: ,代入點(diǎn)A,AF為圓的切線(xiàn),故,由拋物線(xiàn)得定義可知:AF=,故化簡(jiǎn)得: ,將點(diǎn)A代入圓得: ,而=,故故選A

點(diǎn)睛:此題幾何關(guān)系較為復(fù)雜,我們根據(jù)問(wèn)題可知借此題關(guān)鍵為找到pr的關(guān)系,我們可根據(jù)圓和拋物線(xiàn)相交結(jié)合拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)結(jié)論綜合計(jì)算可得其關(guān)系,從而求解

型】單選題
結(jié)束】
12

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)為,若直線(xiàn)軸上的截距恒小于,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,,為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上的任意一點(diǎn),的面積的最大值為1,、為橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),直線(xiàn)軸的交點(diǎn)為,直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖3,是一個(gè)直角梯形,邊上一點(diǎn),、相交于,,,.將△沿折起,使平面⊥平面,連接、,得到如圖4所示的四棱錐

(Ⅰ)求證:⊥平面;

(Ⅱ)求直線(xiàn)與面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著社會(huì)的發(fā)展,終身學(xué)習(xí)成為必要,工人知識(shí)要更新,學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少,現(xiàn)某工廠(chǎng)有工人1000名,其中250名工人參加短期培訓(xùn)(稱(chēng)為類(lèi)工人),另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱(chēng)為類(lèi)工人),從該工廠(chǎng)的工人中共抽查了100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))得到類(lèi)工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(左圖),類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(右圖).

(1)問(wèn)類(lèi)、類(lèi)工人各抽查了多少工人,并求出直方圖中的

(2)求類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計(jì)類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).能力與培訓(xùn)時(shí)間列聯(lián)表

短期培訓(xùn)

長(zhǎng)期培訓(xùn)

合計(jì)

能力優(yōu)秀

能力不優(yōu)秀

合計(jì)

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式:,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案