【題目】如圖3,是一個直角梯形,邊上一點,相交于,,.將△沿折起,使平面⊥平面,連接,得到如圖4所示的四棱錐

(Ⅰ)求證:⊥平面;

(Ⅱ)求直線與面所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析】(I),求得,由此證得,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,,由此可證得平面.(2) O為原點,OA、OD、OB所在直線分別為、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系通過計算直線的方向向量和平面的法向量計算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.

試題解析

(Ⅰ),,所以

同理,從而

又因為,所以是平行四邊形,

因為平面平面,平面平面=AE,,

所以平面

平面,所以

,

所以

(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直線OA、OB、OD兩兩互相垂直,因此,以O為原點,OA、OD、OB所在直線分別為、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

,

設(shè)平面的一個法向量為,則

解得,,取

所以直線與面所成角的余弦值為

(方法二由(Ⅰ)可知,四邊形的面積

連接,則的面積,

三棱錐的體積

的面積

設(shè)到平面的距離為,則,

直線與面所成角的正弦值為余弦值為

練習(xí)冊系列答案
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(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , 分別是, 的中點.

(1)證明:

(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,因此平面,從而得證(2)先找到EH什么時候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時, ,在中, , , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,

為正三角形.又的中點,∴.

,因此.

平面, 平面,∴.

平面, 平面

平面.又平面,∴.

(2)如圖, 上任意一點,連接, .

當(dāng)線段長的最小時, ,由(1)知,

平面, 平面,故.

中, , ,

,

中, , ,∴.

由(1)知 , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點,

可得 , , ,

, ,

所以, .

設(shè)平面的一法向量為

因此,

,則,

因為, , ,所以平面

為平面的一法向量.又

所以 .

易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.

型】解答
結(jié)束】
20

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