【題目】如圖3,是一個直角梯形,,為邊上一點,、相交于,,,.將△沿折起,使平面⊥平面,連接、,得到如圖4所示的四棱錐.
(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)求直線與面所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】【試題分析】(I)在中,求得,由此證得,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,即,由此可證得平面.(2) O為原點,OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系通過計算直線的方向向量和平面的法向量計算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.
【試題解析】
(Ⅰ)在中,,,所以
同理,從而,
又因為,所以是平行四邊形,
因為平面平面,平面平面=AE,,
所以平面
又平面,所以
,
所以
(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直線OA、OB、OD兩兩互相垂直,因此,以O為原點,OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)
則,,,
設(shè)平面的一個法向量為,則
解得,,取
所以直線與面所成角的余弦值為.
(方法二)由(Ⅰ)可知,四邊形的面積
連接,則△的面積,
三棱錐的體積
△的面積
設(shè)到平面的距離為,則,
直線與面所成角的正弦值為,余弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈R時,求證:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,又,因此得平面,從而得證(2)先找到EH什么時候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時, ,在中, , , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,
∴為正三角形.又為的中點,∴.
又,因此.
∵平面, 平面,∴.
而平面, 平面且,
∴平面.又平面,∴.
(2)如圖, 為上任意一點,連接, .
當(dāng)線段長的最小時, ,由(1)知,
∴平面, 平面,故.
在中, , , ,
∴,
由中, , ,∴.
由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點,
可得, , , ,
, , ,
所以, .
設(shè)平面的一法向量為,
則因此,
取,則,
因為, , ,所以平面,
故為平面的一法向量.又,
所以 .
易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓: 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線: 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為:,以極點為坐標(biāo)原點,以極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),點.
(1)求出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)設(shè)曲線與曲線相交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直角梯形中,,、分別是、上的點,且,.沿將四邊形翻折至,連接、、,得到多面體,且.
(Ⅰ)求多面體的體積;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求動點A的軌跡M的方程;
(2)P為軌跡M上的動點,△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點P在軌跡M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于下列四個命題:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;
p3:x∈(0,+∞),<lox;
p4:x∈<lox.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市民用水?dāng)M實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)時,估計該市居民該月的人均水費.
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