Question

11．如圖四棱錐S-ABCD，底面四邊形ABCD滿足條件∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，側(cè)面SAD垂直于底面ABCD，SA=2，
（1）若SB上存在一點E，使得CE∥平面SAD，求$\frac{SE}{SB}$的值；
（2）求此四棱錐體積的最大值；
（3）當體積最大時，求二面角A-SC-B大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過C作AD的平行線CF，交AB于F，過F作SA的平行線FE，交SB于E，則點E就是所求的點，由此能求出結(jié)果．
（2）當SA⊥平面ABCD時，此四棱錐體積最大，由此能求出此四棱錐體積的最大值．
（3）當體積最大時，SA⊥平面ABCD，連結(jié)AC，取AC的中點O，過O作OK⊥SC，垂足為K，連結(jié)BK，由三垂線定理得BK⊥SC，∠BKO是二面角A-SC-B的平面角，由此能求出當體積最大時，二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（1）過C作AD的平行線CF，交AB于F，
過F作SA的平行線FE，交SB于E，
∵AD∥CF，SA∥FE，AD∩AS=A，CF∩EF=F，
AD，AS?平面ADS，CF，EF?平面CEF，
∴平面ADS∥平面CEF，
∵CE?平面CEF，∴CE∥平面SAD，
∵四棱錐S-ABCD，底面四邊形ABCD滿足條件∠DAB=90°，
∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，側(cè)面SAD垂直于底面ABCD，SA=2，
∴AF=AD=2，CF=4，BF=5-2=3，
∴$\frac{SE}{SB}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$．
（2）當SA⊥平面ABCD時，此四棱錐體積最大，
∵SA=2，AF=AD=2，CF=4，BF=5-2=3，∠DAB=90°，
∴S_{四邊形ABCD}=S_梯形AFCD+S_△BCF
=$\frac{1}{2}（2+4）×2+\frac{1}{2}×4×3$=12，
∴此四棱錐體積的最大值V=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×12×2$=8．
（3）當體積最大時，SA⊥平面ABCD，連結(jié)AC，取AC的中點O，
∵BF=3，CF=4，BF⊥CF，∴BC=5，
∴BA=BC=5，∴BO⊥AC，
∵SA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴BO⊥SA，
∵SA∩AC=A，∴BO⊥平面SAC，
過O作OK⊥SC，垂足為K，連結(jié)BK，
則由三垂線定理得BK⊥SC，
∴∠BKO是二面角A-SC-B的平面角，
AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，SC=$\sqrt{A{C}^{2}+S{A}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△SOC=S_△SAC-S_△SAO，
∴$\frac{1}{2}×SC×OK=\frac{1}{2}×SA×AC-\frac{1}{2}×SA×AO$，
∴$\sqrt{6}$×OK=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，∴OK=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$，
∴BK=$\sqrt{O{K}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$，
∴cos∠BKO=$\frac{OK}{BK}$=$\frac{1}{5}$．
∴當體積最大時，二面角A-SC-B的余弦值為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定及求法，考查四棱錐的體積的最大值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．