Question

（2012•浙江模擬）平面內(nèi)與直線平行的非零向量稱為直線的方向向量；與直線的方向向量垂直的非零向量稱為直線的法向量．在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A（2，1）且法向量為

n

=(-1，2)的直線（點(diǎn)法式）方程為-（x-2）+2（y-1）=0，化簡(jiǎn)后得x-2y=0．類比以上求法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1，3），且法向量為

n

=(-1，2，1)的平面（點(diǎn)法式）方程為

x-2y-z+3=0

（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)后的結(jié)果）．

Answer 1

分析：類比平面中求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，在空間任取一點(diǎn)P（x，y，z），則

AP

=（x-2，y-1，z-3），再由平面法向量為

n

=(-1，2，1)，可得-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，
化簡(jiǎn)可得結(jié)果．

解答：解：類比平面中求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，在空間任取一點(diǎn)P（x，y，z），則

AP

=（x-2，y-1，z-3），
∵平面法向量為

n

=(-1，2，1)，
∴-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，化簡(jiǎn)可得 x-2y-z+3=0，
故答案為 x-2y-z+3=0．

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．由于平面向量與空間向量的運(yùn)算性質(zhì)相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法，構(gòu)造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平面方程的求解．