如圖,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥側(cè)面BB1C1C,BC=2,BB1=4,AB=,∠BCC1=60°.

(Ⅰ)求證:C1B⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求A1B與平面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)若E為CC1中點(diǎn),求二面角A—EB1—A1的正切值.

(Ⅰ)由余弦定理可得BC1
利用BC2+BC12=CC12得C1B⊥CB,
又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.
(Ⅱ);
(Ⅲ)二面角的正切值為.

解析試題分析:(Ⅰ)證明:∵BC=2,CC1=4,∠BCC1=60°由余弦定理可得BC1
∴BC2+BC12=CC12  ∴∠CBC1=90° ∴C1B⊥CB             2分
又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB,AB∩CB=B ∴C1B⊥平面ABC,
又平面A1B1C1∥平面ABC  ∴ C1B⊥平面A1B1C            4分
(Ⅱ)∵平面A1B1C1∥平面ABC      
∴A1B與平面ABC所成的角等于A1B與平面A1B1C1所成的角            5分
由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC  ∴C1B⊥平面A1B1C1    
∴∠BA1C1即為A1B與平面A1B1C1所成的角               6分
∠BC1 A1=90° A1C1 ∴         8分
(Ⅲ)CE=BC=2,∠BCE=60° ∴BE=2 ∠EC1B1=120°  C1E=C1B1=2 ∴EB1
∴BE2+B1E2=B1B2  ∴∠BEB1=90°即B1E⊥BE  又AB⊥平面BCC1B1
∴B1E⊥AE   ∴∠AEB為二面角A—EB1—B的平面角          9分
              10分
又∵A1B1⊥平面B1EB    ∴平面A1B1E⊥平面B1EB
∴二面角A—EB1—A1的大小為=90°-∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值為               13分
解法二:易知,,
∴異面直線所成角即為所求二面角的大小.        10分
即為異面直線所成角,        11分
易得,即所求二面角的正切值為           13分
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。

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